Die binomischen Forlmeln erleichtern Mathematikern das Leben, denn sie ergeben sich zwangsläufig durch das Rechnen mit Klammern. Anstatt eine Rechnung umzurechnen, kann man diese durch die binomischen Formeln umformen. Die binomischen Formeln stellen also eine Abkürzung dar, wie nachfolgende Beispiele zeigen werden.
Erste binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Herleitung: (a + b)² = (a + b) * (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²
Die Formel wird folgendermassen angewendet:
(a + b)² = a² + (2 * a * b) + b²
Im Eigentlichen sind es drei Schritte
1. a wird quadriert
2. 2 * a * b
3. b wird quadriert
(4 + 5)² = 4² + 2 * 4 * 5 + 5² = 16 + 40 + 25 = 81
Entweder werden die Seiten a + b miteinander multipliziert um die Fläche zu erhalten (a + b)² oder man berechnet die Einzelteile des Quadrates a² + 2ab + b²
Zweite binomische Formel: (a – b)² = a² – 2ab – b²
Herleitung: (a – b)² = (a – b) * (a – b) = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b²
Die Formel wird folgendermassen angewendet:
(a – b)² = a² + (2 * a * (-b)) + b²
Es werden die gleichen drei Schritte wie in der ersten binomischen Formel angewendet, nur ist b diesmal negativ, da ein Minuszeichen davor steht.
1. a wird quadriert
2. 2 * a * b
3. b wird quadriert
(4 – 5)² = 4² + 2 * 4 * (-5) + 5² = 16 – 40 + 25 = 1
Die neue Fläche hat eine Seitenlänge von a – b. Um diese blaue Fläche (a – b)² zu erhalten wird von a² die Fläche a * b (violett + rot) zwei mal abgezogen. Dabei wurde b² (rot) jedoch auch zwei mal abgezogen und muss daher wieder hinzu addiert werden a² – 2ab + b²
Dritte binomische Formel: (a + b)(a – b) = a² – b²
Herleitung: (a + b)(a – b) = (a + b) * (a – b) = a² – ab + ab – b² = a² – b²
Diese Formel findet anwendung, wenn man zwei Klammern mit den selben Variabeln hat, die sich jedoch in den Vorzeichen unterscheiden.
1. a wird quadriert
2. b wird quadriert
(4 + 5)(4 – 5) = 4² – 5² = 16 – 25 = -9
Beim dritten Binom wird von der Fläche a² die Fläche b² abgezogen. Die sich daraus ergebenden Rechtecke haben eine Fläche von a(a-b) (blau) und b(a-b) (violett) oder, wenn man die violette Fläche an die Stelle der helleren violetten Fläche schiebt, eine Fläche von (a + b)(a – b)
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