Eine Aufgabe, in der mehrere Variablen gesucht sind und mehrere Gleichungen zur Verfügung stehen, bezeichnet man als Lineares Gleichungssystem. Dieses kann über- oder unterbestimmt sein, je nachdem ob mehr oder weniger Variablen als Gleichungen gelöst werden müssen, aber dazu später.
Gleichungssystem mit 2 Variablen
Nehmen wir an, wir gingen einkaufen. Wir wissen, dass 4 Schokoriegel und 2 Packungen Zigaretten 20 CHF kosten. Ausserdem wissen wir, dass 12 Schokoriegel und 10 Packungen Zigarretten 92 CHF kosten. Gefragt ist nun natürlich, was kostet ein Schokoriegel oder eine Packung Zigarretten. Wir setzen für Schokoriegel x und Zigaretten y ein. Aus den oben gegebenen Informationen lassen sich demnach folgende Gleichungen herleiten:
4 * Schokoriegel + 2 * Zigaretten = 20 CHF also
4 * x + 2 * y = 20
12 * Schokoriegel + 10 * Zigaretten = 92 CHF also
12 * x + 10 * y = 92
Der Übersicht halber schreibt man das Ganze folgendermassen
I | 4x + 2y = 20
II| 12x + 10y = 92
Es gibt nun verschiedene Verfahren um ein Gleichungssystem zu lösen.
Einsetzungsverfahren
Beim Ensetzungsverfahren wird eine der Gleichungen auf eine Variable aufgelöst:
I | 4x + 2y = 20
I | x = 5 – 1/2y
Das Ergebnis für x aus Gleichung I wird nun für x in Gleichung II eingesetzt und diese nach y aufgelöst.
II | 12(5 – 1/2y) + 10y = 92
Das Ergebnis für y aus Gleichung I wird für y in Gleichung II eingesetzt. Nun kann nach einer Variablen aufgelöst werden.
Gleichsetzungsverfahren
Beim Gleichsetzungverfahren reduzieren wir die beiden Gleichungen auf einen gemeinsamen Wert z.B. 4x.
I | 4x = 20 – 2y
II| 4x = 92/3 – 10y/3
da wir nun auf der einen Seite den Gleichen wert haben, muss auf der anderen Seite der Gleichung ebenfalls das selbe stehen. Daher können wir nun folgende Gleichung herleiten und wiederum nach der verbleibenden Variablen auflösen:
20 – 2y = 92/3 – 10y/3
Da y aus Gleichung I und y aus Gleichung II den selben Wert haben, müssen die rechten Seiten der Gleichungen sich ebenfalls entsprechen. Diese werden sich gegenüber gestellt und es kann nach einer Variablen, in diesem Fall x, aufgelöst werden.
Gaußverfahren
Eine weitere Möglichkeit ist das Gauß-Eliminationsverfahren. Da sich dieses Verfahren mühelos auf Gleichungssysteme mit grösserer Anzahl an Variablen anwenden lässt, ist es wohl das wichtigste der Verfahren zum Auflösen eines Gleichungssystems.
I | 4x + 2y = 20
II| 12x + 10y = 92
wir versuchen nun eine der Variablen zu eliminieren, indem wir diese in beiden Gleichungen auf den Selben Wert bringen und eine Gleichung zur anderen hinzu addieren oder subtrahieren.
3 * I | 12x + 6y = 60
Wenn wir nun die neue Konstelation der Gleichung I von der Gleichung II abziehen, verschwindet die x Variable und wir können die Gleichung nach y auflösen.
II – I| (12x + 10y) – (12x +6y) = 92 – 60
III | 4y = 32
nun setzen wir entweder in Gleichung I oder II für y den Wert 8 ein und können somit nach der verbleibenden Variablen auflösen.
Das selbe Verfahren liesse sich auch bei 3 oder mehr Unbekannten anwenden.
I | x + 2y – z = 3
II |2x – y + z = 11
III|3x – 3y – 2z = -4
Wir beginnen nun damit Variablen zu eliminieren. So z.B. mit Gleichung I wird x eliminiert:
II – 2*I | (2x – y + z) – (2x + 4y – 2z) = 11 – 6
Neu I | -5y + 3z = 5
Variable x steht nun jedoch immer noch in Gleichung III daher wird diese auch noch mit Gleichung I bearbeitet:
3*I – III | (3x + 6y – 3z) – (3x – 3y -2z) = 9 – (-4)
Neu II | 9y – z = 13
Die beiden neun entstandenen Gleichungen werden nun benötigt um eine weitere Variable zu eliminieren:
Neu I + 3 * Neu II | (-5y + 3z) + (27y – 3z) = 5 + 39
22y = 44 | :22
y = 2
Dies wird nun entweder in Gleichung Neu I oder Neu II eingesetzt um z zu erhalten und anschliessend werden die Werte aus z und y in eine der drei Anfangsgleichungen I, II oder III eingesetzt.
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