Substitution

Das ersetzen eines Terms durch einen anderen wird in der Mathematik als Subistution bezeichnet. In der Regel kann ein Problem durch Substitution vereinfacht werden, da nach dem Verfahren die PQ- oder Mitternachtsformel angewendet werden kann. Das Substitutionsverfahren funktioniert nur bei Gleichungen in der Variablen mit geraden Exponenten vorkommen.

3x⁴ + 2x² – 4 = 0
Mit dem Substitutionsverfahren können wir diese Gleichung nun einfach lösen. Wir substituieren nun x² durch a.

3a² + 2a – 4 = 0
Also wird 3x⁴ = 3(x²)² neu zu 3a², 2x² zu 2a und 4 = 4(x²)⁰ zu 4a⁰.

Nun haben wir die Gleichung in einer Form, die wir für die PQ-Formel verwenden können. Wir teilen also durch 3 um a² einzeln zu haben und setzen ein.

a₁ = 0.869, a₂ = -1.535

Als Resubstitution wird das Verfahren bezeichnet, mit dem man das Ganze rückgängig macht und die Werte wieder in die ursprüngliche Form setzt.

Nun haben wir die Werte nach a aufgelöst. Gesucht ist jedoch der Wert für x! Da wir x² zu a gemacht haben, entspricht x = ±√a.

x₁ = +√0.869
x₂ = -√0.869
x₃ = ±√-1.535
Die Wurzel aus 0.869 lässt sich problemlos ziehen. Da sowohl negative als auch positive Zahlen im Quadrat den gegebenen Radikand liefern, müssen beide Lösungen berücksichtigt werden, also ±.
Wurzeln aus negativen Zahlen lassen sich im reellen Zahlenbereich nicht ziehen. Die Lösung wäre eine komplexe Zahl.

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